Question

不等式ln²（x+1）-

x2

x+1

＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由不等式中的對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求得x的初步范圍，把不等式轉(zhuǎn)化為（x+1）ln²（x+1）-x²-1），然后換元令x+1=t（t＞0），通過(guò)兩次求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt-t+1（t＞0），再由導(dǎo)數(shù)研究其最值，得到y(tǒng)在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，進(jìn)一步把原不等式等價(jià)于y＜0?t≠1?x+1≠1?x≠0．結(jié)合x(chóng)＞-1求得原不等式的解集．

解答： 解：由已知得x＞-1，
∴原不等式化為（x+1）ln²（x+1）-x²＜0，
令f（x）=（x+1）ln²（x+1）-x²（x＞-1），
再令x+1=t（t＞0），
y=f（t）=tln²t-（t-1）²（t＞0），
y′=ln2t+2t•

1

t

lnt-2(t-1)=ln²t+2lnt-2t+2（t＞0），
y′′=

2

t

lnt+

2

t

-2=

2

t

(lnt+1-t)（t＞0），
令g（t）=lnt-t+1（t＞0），
g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

(t＞0)，
由g′（t）＞0⇒0＜t＜1，g′（t）＜0⇒t＞1．
∴g（t）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（t）_max=g（1）=ln1+1-1=0．
∴g（t）≤0，
∴y′′=

2

t

g(t)≤0．
則y′在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又y′|t=1=

2

1

(ln1+1-1)=0，
∴0＜t＜1時(shí)，y′＞0，t＞1時(shí)y′＜0．
∴y在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴ymax=1•ln21-(1-1)2=0．
∴原不等式等價(jià)于y＜0?t≠1?x+1≠1?x≠0．
由x＞-1，
∴原不等式的解集為（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有對(duì)數(shù)式的不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值，屬難度較大的題目．