Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E為PB的中點．
（Ⅰ）證明：CE⊥AB；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A為45°，求直線CE與平面PAB所成角的正切值．
（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明CE⊥AB，即證AB⊥CE，根據(jù)已知條件容易想到取AB中點F，連接EF，CF，便可得到AB⊥EF，AB⊥CF，所以AB⊥平面CEF，所以AB⊥CE；
（Ⅱ）根據(jù)二面角的平面角的定義，以及線面垂直的判定定理及性質(zhì)可知∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，所以∠PDA=45°，所以PA=AD，并且由（Ⅰ）知∠CEF為CE與平面PAB所成的角，所以根據(jù)PA=AD即可求出tan∠CEF；
（Ⅲ）要求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值，需先找出這個二面角的平面角，先找平面PAB和平面PCD的交線，因為P點是這兩個平面的公共點，所以交線過P點，并且發(fā)現(xiàn)，過P作平行于AB的直線PG，也平行于CD，所以PG是這兩個平面的交線．并且容易說明PA⊥PG，PD⊥PG，所以∠DPA是平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的平面角，因為PA=kAB=kAD，所以這樣即可求出cos∠DPA=

k

1+k2

．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，取AB的中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)C；

則EF∥PA，CF∥AD；
∵PA⊥平面ABCD；
∴EF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；
∴EF⊥AB，即AB⊥EF；
AB⊥AD；
∴AB⊥CF，EF∩CF=F；
∴AB⊥平面EFC，CE?平面EFC；
∴AB⊥CE，即CE⊥AB；
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD，即CD⊥PA；
又CD⊥AD；
∴CD⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴CD⊥PD，AD⊥CD；
∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角；
∴∠PDA=45°；
∴PA=AD；
∵AB=AD=2CD；
∴PA=AB=AD；
由（Ⅰ）知，∠CEF為CE與平面PAB所成的角；
因為tan∠CEF=

CF

EF

=

AD

EF

=

AD

1 2 PA

=2；
所以直線CE與平面PAB所成角的正切值為2；
（Ⅲ）過點P作PG∥AB；
由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥PG；
CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD；
∵CD∥AB∥PG，∴PG⊥PD，即PD⊥PG；
∵PG∥AB∥CD；
∴PG是平面PCD和平面PAB的交線；
∴∠APD為所求銳二面角的平面角；
∴cos∠APD=

PA

PD

=

k

1+k2

．

點評：考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，二面角、二面角的平面角及線面角的概念，以及求二面角的平面交點方法．