Question

（2013•資陽(yáng)一模）函數(shù)f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（8，2）和（1，-1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；（2）先求出g（x）的表達(dá)式，觀察到函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，故應(yīng)該先研究真數(shù)的范圍再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由

f(8)=2 f(1)=-1

得

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函數(shù)解析式為f（x）=-1+log₂x，
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1，其中x＞1，
因?yàn)?span id="qcd60pv" class="MathJye">

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 (x-1)

+2=4
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

即x=2時(shí)，“=”成立，
而函數(shù)y=log₂x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值1．

點(diǎn)評(píng)：該題目第一問(wèn)是送分的，第二問(wèn)比較有難度，解題時(shí)應(yīng)該注意復(fù)合函數(shù)的最值拆分開(kāi)來(lái)求：本題先分離常數(shù)利用基本不等式求真數(shù)的范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值．