Question

1．設數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=aqⁿ+b（a，b為非零實數(shù)，q≠0且q≠1）．
（1）當a，b滿足什么關系式，{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，證明：以（a_n，S_n）為坐標的點都落在同一條直線上．

Answer 1

分析 （1）當a+b=0時，a₁=S₁=a（q-1）．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．當n=1時也成立．于是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）運用等比數(shù)列的通項和求和公式的關系，即可得證．

解答 解：（1）當a，b滿足a+b=0，{a_n}是等比數(shù)列．
理由：當a+b=0時，a₁=S₁=aq+b=a（q-1）．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
當n=1時也成立．
于是$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{a{q}^{n}（q-1）}{a{q}^{n-1}（q-1）}$=q（n∈N₊），
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）證明：若{a_n}為等比數(shù)列，設公比為q，q≠1，
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$
=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$a_n，
即有以（a_n，S_n）為坐標的點都落在同一條直線
y=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$x上．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．