Question

6．代數(shù)式（1+x+px²）¹⁰的展開式中，試求使x⁴項的系數(shù)最小時p的值．

Answer 1

分析 可將1+x看作整體，求出展開式的通項公式T_r+1，再求其中（1+x）^10-r的通項公式，令l+2r=4，則l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．由條件求出展開式中x⁴的系數(shù)，即可求使x⁴項的系數(shù)最小時p的值．

解答 解：（1+x+px²）¹⁰的展開式的通項公式T_r+1=${C}_{10}^{r}•（1+x）^{10-r}•（p{x}^{2}）^{r}$，r=0，1，…，10
其中（1+x）^10-r的通項公式T_l+1=${C}_{10-r}^{l}{x}^{l}$，l=0，1，…，10-r．
令l+2r=4，則l=0，r=2或l=2，r=1或l=4，r=0．
則有展開式中x⁴的系數(shù)為：${C}_{10}^{2}{C}_{8}^{0}$p²+${C}_{10}^{1}{C}_{9}^{2}$p+${C}_{10}^{0}{C}_{10}^{4}$=45p²+360p+210=45（p+4）²-510，
∴使x⁴項的系數(shù)最小時p的值為-4．

點評 本題考查二項式展開式的通項公式的運用，考查運算能力和分類思想，屬于中檔題．