Question

已知函數(shù)f（x）=ax-在x=0處取得極值．
（I）求實數(shù)a的值，并判斷，f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n≤l；
（Ⅲ）在（II）的條件．下，記s_n=++…+，求證：s_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（I）通過極值的性質(zhì)，求實數(shù)a．然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法證明不等式．
（Ⅲ）利用（II）的結(jié)論去證明．
解答：解：（I）函數(shù)的導數(shù)為，因為函數(shù)在x=0處取得極值，所以f'（0）=0，解得a=1．
即．
因為x≥0，所以ln（1+x）≥0，x²+x≥0，所以此時f'（x）≥0，即函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）  由（I）知，所以，下面用數(shù)學歸納法證明a_n＞0．
①當n=1時，a_n=1＞0，成立．
②假設(shè)當n=k，（n∈N•）時a_k＞0．因為函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（a_k）＞f（0）=0，所以a_n+1=f（a_n）＞0成立．
綜上a_n＞0．又a_n-a_n+1=，因為a_n＞0，所以，即a_n＞a_n+1．
而a₁=1，所以0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
所以由①②可知0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
（Ⅲ）由（II）知，0＜a_n+1＜a_n≤l，所以，，即，所以．
所以．
所以s_n=++…+
=
所以s_n＜1．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題以及利用數(shù)學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度非常大，在運算過中要細心．