Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+a-3

ax+a

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：
     （i）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不必證明）；
     （ii）若函數(shù)f（x）的最大值為

3

4

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，求出a值再代入檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，分a＞1，0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，利用基本函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論；
（ii）利用（i）的結(jié)論可得f（x）的最大值f（x）_max，令f(x)max=

3

4

可求得a值；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=

ax+a-3

ax+a

是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，解得a=2，
把a(bǔ)=2代入，得f（x）=

2x-1

2x+2

，經(jīng)檢驗(yàn)滿足f（x）=-f（x），
所以a=2；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，
當(dāng)a＞1時(shí)，a^x+a是增函數(shù)，f（x）=1-

3

ax+a

是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^x+a是減函數(shù)，f（x）=1-

3

ax+a

是減函數(shù)；
（ii）由（i）知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）_max=f（2）=1-

3

a2+a

=

3

4

，解得a=3；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max=f（1）=1-

3

a+a

=

3

4

，解得a=6，不符合舍去．
綜上所述：a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想．