Question

求證：lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2≥1+

2

3

(1-x)3．

Answer 1

分析：設(shè) f(x)=lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2-[1+

2

3

(1-x)3](x＞0)，求出它的導(dǎo)數(shù)f'（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，從而證得不等式成立．

解答：證明：設(shè) f(x)=lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2-[1+

2

3

(1-x)3](x＞0)，
則：f′(x)=

1

x

-

1

x2

-(x-1)+2(1-x)2=(x-1)3•

2x+1

x2

，
令f'（x）=0解得：x=1或x=-

1

2

(舍)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0，也是唯一極小值，
∴f（x）的最小值為f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2≥1+

2

3

(1-x)3．

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)的最小值證明不等式的方法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出f（x）的最小值是解題的關(guān)鍵．