Question

已知數(shù)列{

1

(3n-2)(3n+1)

}的前n項(xiàng)和S_n．
（1）計(jì)算S₁、S₂、S₃、S₄；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）對(duì)于任意的正整數(shù)n都有S_n＜m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用條件，代入計(jì)算，可得S₁、S₂、S₃、S₄；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟進(jìn)行證明；
（3）S_n=

n

3n+1

=

1

3

（1-

1

3n+1

），隨著n增大，S_n增加，但S_n＜

1

3

，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）S₁=

1

4

，S₂=

2

7

，S₃=

3

10

，S₄=

4

13

；
（2）由（1）可以猜想S_n=

n

3n+1

①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)n=k，S_k=

k

3k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

3k+1

+

1

(3k+4)(3k+1)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+4)(3k+1)

=

k+1

3k+4

，
說明n=k+1時(shí)，猜想也成立；
綜合①②，猜想S_n=

n

3n+1

成立．
（3）S_n=

n

3n+1

=

1

3

（1-

1

3n+1

），隨著n增大，S_n增加，但S_n＜

1

3

，由于S_n＜m對(duì)任意的正整數(shù)n成立，
所以m≥

1

3

即可．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．