Question

12．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知O是平面ABC上的一定點，平面ABC上的點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{a}{a+b+c}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{a+b+c}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{OC}$，則點P的軌跡一定是△ABC的（　�。�

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 內(nèi)心

Answer 1

分析 在P點所滿足的向量的等式的兩邊同時減去向量$\overrightarrow{OA}$，便可以得到$\overrightarrow{AP}=\frac{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$，進一步整理成$\overrightarrow{AP}=\frac{bc}{a+b+c}（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$，從而說明P點的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{OA}$$+\frac{a+b+c}\overrightarrow{OB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{OC}$得：
$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{OA}+\frac{a+b+c}\overrightarrow{OB}$$+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{a+b+c}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$$+\frac{c}{a+b+c}（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{bc}{a+b+c}（\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}）$；
即$\overrightarrow{AP}=\frac{bc}{a+b+c}（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$；
∴P點在∠BAC的平分線所在直線上；
∴P點的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．
故選：D．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，及向量數(shù)乘的幾何意義，以及知道向量$λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$表示角平分線所在直線上的向量，知道三角形內(nèi)心的概念．