Question

2．對于不等式$\frac{1}{8}$（2t-t²）≤x²-3x+2≤3-t²試求對區(qū)間[0，2]上任意x都成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 求出x²-3x+2在區(qū)間[0，2]上的最小值和最大值，把問題轉(zhuǎn)化關(guān)于t的不等式組得答案．

解答 解：∵x²-3x+2=$（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，$（{x}^{2}-3x+2）_{min}=-\frac{1}{4}$，（x²-3x+2）_max=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}（2t-{t}^{2}）≤-\frac{1}{4}}\\{3-{t}^{2}≥2}\end{array}\right.$，解得：-1$≤t≤1-\sqrt{3}$．
∴對于不等式$\frac{1}{8}$（2t-t²）≤x²-3x+2≤3-t²，對區(qū)間[0，2]上任意x都成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-1，1-$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．