Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn) （2，0）處有相同的切線l。
（1）求a、b的值，并寫出切線l的方程；
（2）若方程f（x）+g（x）=mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、 x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+ g（x）＜m（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+4ax+b，g'（x）=2x-3
由于曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線，
故有f（2）=g（2）=0，f（2）=g'（2）=1
由此得
解得
所以a=-2，b=5，
切線l的方程為x-y-2=0。
（2）由（1）得f（x）=x³-4x²+5x-2，
所以f（x）+g（x）=x³-3x²+2x
依題意，方程x（x²-3x+2-m）=0有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x₁、x₂，
故x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的兩相異的實(shí)根，
所以△=9-4（2-m）>0，即
又對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）成立，
特別地，取x=x₁時(shí)，f（x₁）+g（x₁）-mx₁＜-m成立，得m＜0
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=3>0，x₁x₂=2-m>0，
故0＜x₁＜x₂
對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₂≤0，x-x₁≥0，x>0，
則f（x）+g（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0
又f（x₁）+g（x₁）-mx₁=0，
所以函數(shù)f（x）+g（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值為0
于是當(dāng)m＜0時(shí)，對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
綜上，m的取值范圍是。