Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x≥2 3x-y≥1 y≥x+1

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則ab的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最小值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則ab的最大值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直線的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最小，此時(shí)z最�。�
由

x=2 y=x+1

，解得

x=2 y=3

，即A（2，3），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，
即2a+3b=2，∴2=2a+3b≥2

6ab

，
即ab≤

1

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=1，即a=

1

2

，b=

1

3

時(shí)取等號．
故ab的最大值為

1

6

，
故答案為：

1

6

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．