Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（2）求此幾何體的表面積，并畫(huà)出此幾何體的主視圖和俯視圖（寫(xiě)出各頂點(diǎn)字母）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)長(zhǎng)方體的高AA₁=h，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式和錐體體積公式列方程，解之即可得到AA₁=3．
（2）根據(jù)題意，可得該幾何體的表面由三個(gè)長(zhǎng)方形和四個(gè)三角形組成，分別求出各長(zhǎng)方形和三角形的面積，相加即得此幾何體的表面積，再根據(jù)三視圖的定義可作出它的主視圖和俯視圖．
解答：解：（1）設(shè)長(zhǎng)方體的高AA₁=h，則該幾何體體積為
--------------------2'
即，解得：h=3，即AA₁=3-----------------------6’
（2）根據(jù)題意，可得該幾何體的表面由三個(gè)長(zhǎng)方形和四個(gè)三角形組成，
S_AA1D1D=S_C1D1DC=2×3=6，S_ABCD=2×2=4，
S_△A1AB=S_△BC1C=×2×3=3，S_△A1D1C1=×2×2=2，
在△A₁BC₁中，A₁B===BC₁，A₁C₁==2
∴cos∠A₁BC₁==，
可得sin∠A₁BC₁==
所以S_△A1BC1=×××=
由此可得該幾何體的表面積為：
S_表=S_AA1D1D+S_C1D1DC+S_ABCD+S_△A1AB+S_△BC1C+S_△A1D1C1+S_△A1BC1=24+---------------------------10'
幾何體的主視圖和俯視圖如右圖所示（主視圖和俯視圖分別為2分）．---------------------------14'
點(diǎn)評(píng)：本題將長(zhǎng)方體切去一個(gè)角，在已知體積的情況下求它的高，并求幾何體的表面積，著重考查了棱柱棱錐的體積公式，用正余弦定理求三角形面積等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．