Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n-1，且a₁=1．
（Ⅰ）求證：{a_n+n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=2a_n+n-1化簡$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）}{{a}_{n}+n}$即得結論；
（Ⅱ）通過a₁=1可知數(shù)列{a_n+n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，進而可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，進而利用分組法求和計算即得結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n+n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）}{{a}_{n}+n}$=$\frac{2{a}_{n}+n-1+（n+1）}{{a}_{n}+n}$=2，
∴數(shù)列{a_n+n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n+n=2ⁿ，即a_n=-n+2ⁿ，
∴S_n=-（1+2+…+n）+（2¹+2²+…+2ⁿ）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$-2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．