Question

（2013•日照一模）若數(shù)列{b_n}：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列c_n：若cn=

4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時 4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時

，則數(shù)列{c_n}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
（Ⅰ）求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：{a_n}的通項公式及前20項和S₂₀．

Answer 1

分析：（I）由已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），兩式相減可得a_n+2-a_n=2．即可得到數(shù)列{a_n}是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（II）利用已知a_n+a_n+1=2n，即可得出S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）=2（1+3+…+19），再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，∴a_n+1+a_n+2=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（II）∵a_n+a_n+1=2n，
∴S₂₀=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₁₉+a₂₀）
=2（1+3+…+19）
=2×

10×(1+19)

2

=200．

點評：正確理解準(zhǔn)等差數(shù)列的定義和熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵．