Question

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，AB=，SA=10，M、N、O分別是SA、SB、BD的中點(diǎn)．
（1）設(shè)P是OC的中點(diǎn)，證明：PN∥平面BMD；
（2）求直線SO與平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使NG⊥平面BMD，若存在，求線段NG的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出平面BMD的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184853338299362/SYS201310241848533382993019_DA/1.png">，進(jìn)而得到線面平行．
（2）由（1）可得平面BMD的法向量，再求出直線OS所在的向量，利用向量之間的運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為線面角．
（3）若存在點(diǎn)G，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁，0），結(jié)合題意可得：，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再檢驗(yàn)點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足題意，進(jìn)而求出NG的長度．
解答：解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為OB、OC、OS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184853338299362/SYS201310241848533382993019_DA/4.png">，
所以，
又∵直線PN不在平面BMD內(nèi)
∴PN∥平面BMD．   …（4分）
（2）設(shè)直線SO與平面BMD所成角為θ，
所以sinθ=，
∵．…（8分）
（3）若存在點(diǎn)G，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁，0），

所以點(diǎn)G坐標(biāo)為…（10分）
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，△ABC的內(nèi)部區(qū)域可表示不等式組：，
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足上述不等式組．

故在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)G，使NG⊥平面BMD，且NG=…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定以及直線與平面垂直的判定，夾角此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面夾角的定義，及空間線線、線面垂直關(guān)系之間的互相轉(zhuǎn)化，或者建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的有關(guān)知識(shí)解決問題．