9.對(duì)a,b∈R,記max{a,b}=$\left\{\begin{array}{l}{a(a≥b)}\\{b(a<b)}\end{array}\right.$,則函數(shù)f(x)=max{|x+1|,x2}(x∈R)的最小值是( 。
A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$C.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$D.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

分析 討論當(dāng)|x+1|≥x2,|x+1|<x2時(shí),求出f(x)的解析式,由單調(diào)性可得最小值.

解答 解:當(dāng)|x+1|≥x2,即x+1≥x2或x+1≤-x2,
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時(shí),
∴f(x)=max{|x+1|,x2}=|x+1|=x+1,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,f(x)min=f($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$)=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
當(dāng)x<$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,f(x)=max{|x+1|,x2}=x2,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,f(x)min=f($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$)=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
當(dāng)x>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時(shí),f(x)=x2,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,f(x)min=f($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
綜上所述:f(x)min=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法,考查絕對(duì)值不等式的解法,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,以及函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

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