Question

20．已知函數f（x）=$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$，則函數f（x）的最大值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 求導，令f（x）=0，可知x=1，根據函數的單調性可知，當x=1時，函數f（x）取極大值，也為最大值，即可求得函數f（x）的最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{3x}$-$\frac{2}{3}$x=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{3x}$，
令f（x）=0，解得：x=1，
當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∴當x=1時，函數f（x）取極大值，也為最大值，
∴f（1）=0-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查利用導數法求函數的單調性及最值，考查導數的運算，屬于中檔題．