Question

12．已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且f（2）=0，則不等式xf（x-1）＞0的解集是（　　）

• A． （-3，-1）
• B． （-3，1）∪（2，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，3）

Answer 1

分析 本題考查函數(shù)的單調性與奇偶性的綜合試題．求不等式xf（x-1）＞0的解集實質上求分段函數(shù)為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$ 的x取值范圍．又利用奇函數(shù)的性質得出f（-2）=0，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{0＜x-1＜2}\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2＜x-1＜0}\end{array}\right.$．

解答 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）上單調遞減
∴f（x） 在（0，+∞）上單調遞減；
∵xf（x-1）＞0 可變形為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$  （1）或   $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$   （2）
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（2）=0∴f（-2）=-f（2）=0；
∴不等式組（1）的解為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{0＜x-1＜2}\end{array}\right.$⇒1＜x＜3
    不等式組（2）的解為$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-2＜x-1＜0}\end{array}\right.$⇒-1＜x＜0
∴不等式xf（x-1）＞0的解集是{x|-＜x＜0或1＜x＜3}
因此答案為：D

點評 本題考查函數(shù)的單調性與奇偶性的綜合試題，屬于高考常考提醒．考生在解函數(shù)類型的題目時，尤其要注重函數(shù)性質的靈活應用．