Question

2．比較下列各組中兩數(shù)的大�。�
①2015²⁰¹⁶＜2016²⁰¹⁵；
②2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵；
③$\root{2016}{2015}＜\root{2015}{2016}$；
④$\root{2016}{2015}＞\root{2015}{2016}$，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=xlnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（e，+∞）
∴$\frac{ln2015}{2015}$＞$\frac{ln2016}{2016}$，
∴2016ln2015＞2015ln2016，
∴l(xiāng)n2015²⁰¹⁶＞ln2016²⁰¹⁵，
∴2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{e}$，+∞）
∴2015ln2015＜2016ln2016，
∴$\frac{1}{2016}$ln2015＜$\frac{1}{2015}$ln2016，
∴l(xiāng)n2015${\;}^{\frac{1}{2016}}$＜ln2016${\;}^{\frac{1}{2015}}$，
即ln$\root{2016}{2015}$＜ln$\root{2015}{2016}$
∴$\root{2016}{2015}$＜$\root{2015}{2016}$，
故正確的是②③，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．