Question

已知函數(shù)f(x)=x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1，a∈R。
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)（3，f(3)）處的切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)函數(shù)y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，，∴f(3)=1，
∵，曲線在點(diǎn)（3，1）處的切線的斜率，
∴所求的切線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8。
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)，
∵，令f′(x)=0得，，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′(x)＜0，即函數(shù)y=f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，f′(x)＞0，即函數(shù)y=f(x)在（1，4）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f(x)在[0，4]上有最小值，；
又，
∴當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值分別為。
（3）∵，
∴，
①當(dāng)時(shí)，3a=a+2，解得a=1，這時(shí)，
函數(shù)y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，故a=1為所求；
②當(dāng)時(shí)，即，這時(shí)，
又函數(shù)y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴；
③當(dāng)時(shí)，即a＜1，這時(shí)，
又函數(shù)y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)，
∴，
綜上得當(dāng)函數(shù)y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零點(diǎn)時(shí)，或或a=1。