Question

（2012•黃岡模擬）函數(shù)f（x）的圖象在R上為連續(xù)不斷的曲線，且滿足2012f(-x)=

1

2012f(x)

，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，若f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（0，2）

．

Answer 1

分析：由2012f(-x)=

1

2012f(x)

得出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，進(jìn)而得出函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，于要解的不等式化為關(guān)于m的不等式組．

解答：解；由2012f(-x)=

1

2012f(x)

得，2012^f（-x）•2012^f（x）=1，即2012^{f（-x）+f（x）}=1
即f（-x）+f（x）=0，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又函數(shù)f（x）的圖象在R上為連續(xù)不斷的曲線，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
不等式f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]可化為，

m＞0 m+2＞0 log2m＜log4(m+2)

即

m＞0 m+2＞0 m2＜m+2

，解得，0＜m＜2．
故答案為：（0，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．