Question

已知方程①：ax²+bx+c=0，（其中c≠0）有整數(shù)根，是否存在整數(shù)P，使得方程②：x³+（x+P）x²+（b+P）x+c=0與方程①有相同的整數(shù)根？如果這樣的P存在，請求出所有這樣的整數(shù)P和相應的公共整數(shù)根；如果這樣的P不存在，請說明你的理由．

Answer 1

解：x³+（a+P）x²+（b+P）x+c=0
則x³+Px²+Px+ax²+bx+c=0而ax²+bx+c=0
∴x³+Px²+Px=0則方程必有一個根為0，而ax²+bx+c=0，（其中c≠0）無0根
∴x²+Px+P=0與ax²+bx+c=0有相同的整數(shù)根
而方程x²+Px+P=0的根為，要使為整數(shù)，則為整數(shù)
從而P=0或4，而P=0時方程x³+（a+P）x²+（b+P）x+c=0的根為0，而ax²+bx+c=0，（其中c≠0）無0根，不合題意
∴P=4，此時方程x²+Px+P=0的根為-2
分析：先根據(jù)已知條件將原題轉化成x²+Px+P=0與ax²+bx+c=0有相同的整數(shù)根，然后利用求根公式求出方程x²+Px+P=0的根，根據(jù)為整數(shù)則P=0或4，討論可求出滿足條件的P，從而求出公共整數(shù)根．
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及整數(shù)解問題，同時考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．