Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和S_n滿足條件

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

，n=1，2，…，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=a_np^a_n（p＞0），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）將n=1代入已知遞推式，易得a₂，從而求出d，故a_n可求；
（2）求出b_n，分p=1和p≠1兩種情況討論，然后利用錯位相減法求和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由

s2n

sn

=

4n+2

n+1

得：

a1+a2

a1

=3，所以a₂=2，即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（Ⅱ）由b_n=a_np^a_n，得b_n=npⁿ．所以T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，①
當(dāng)p=1時，T_n=

n2+n

2

；
當(dāng)p≠1時，
pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，②
①-②得（1-p）T_n=p+p²+p³+…+p^n-1+pⁿ-npⁿ⁺¹=

p(1-pn)

1-p

-npn+1，
即T_n=

n2+n 2 ，p=1 p(1-pn) (1-p)2 - npn+1 1-p ，p≠1

．

點評：本題主要考查對數(shù)列遞推關(guān)系的觀察能力和利用錯位相減法求和的能力，難度中等，注意分類討論思想的應(yīng)用．