Question

7．已知a＞0，b＞0，且4a-b≥2，則$\frac{1}{a}-\frac{1}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，4a≥b+2＞2，a＞$\frac{1}{2}$，$\frac{1}$≥$\frac{1}{4a-2}$，可得$\frac{1}{a}-\frac{1}$≤$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$，令y=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，4a≥b+2＞2，a＞$\frac{1}{2}$，$\frac{1}$≥$\frac{1}{4a-2}$，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}$≤$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$
令y=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$
則y′=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{（4a-2）^{2}}$=$\frac{-4（3a-1）（a-1）}{{a}^{2}（4a-2）^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，a＞1時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴a=1時(shí)，y_max=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}$≤$\frac{1}{2}$，
故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．