Question

設數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n，已知a₁=1，2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n²-

2

3

n，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

7

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，即可求a₂的值；
（2）根據(jù)遞推數(shù)列，結合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列，
（3）求出

1

an

的通項公式，利用放縮法以及裂項法，即可證明不等式

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

7

4

成立．

解答： 解：（1）依題意：當n=1時，2S₁=a₂-

1

3

-1-

2

3

，
解得：a₂=4，
（2）證明：∵a₁=1，2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n²-

2

3

n，n∈N^*．
當n≥2，則2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

（n-1）³-（n-1）²-

2

3

（n-1），
兩式相減得：2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-

1

3

（3n²-3n+1）-（2n-1）-

2

3

，
整理得：（n+1）a_n=na_n+1-n（n+1），
則

an

n

=

an+1

n+1

-1，
即

an+1

n+1

-

an

n

=1，n≥2．
又

a2

2

-

a1

1

=1，對任意n≥1都有

an+1

n+1

-

an

n

=1，
故數(shù)列{

an

n

}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，
所以

an

n

=1+（n-1）×1=n，則a_n=n²．
（3）證明：由（2）得：a_n=n²，
則

1

an

=

1

n2

，
∵

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≤1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-2)(n-1)

+

1

(n-1)n

＜

5

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

5

4

+

1

2

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．所以得證．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用，根據(jù)遞推數(shù)列結合等差數(shù)列的定義求出通項公式，利用放縮法是證明不等式的基本方法．