Question

已知sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

，-

π

2

＜α＜0，求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：解法一：利用兩角和的正弦公式，將已知中sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

展開，結(jié)合輔助角公式，可得sin(a+

π

6

)=-

4

5

，結(jié)合-

π

2

＜α＜0，利用兩角和的余弦公式，可得cosα的值．
解法二：利用兩角和的正弦公式，將已知中sin（α+

π

3

）+sinα=-

4 3

5

展開，化簡后可得sinα•

3

+cosα=-

8

5

，結(jié)合兩弦平方和為1，解方程可得cosα的值．

解答： 解法一：∵sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，
即sinα•

1

2

+cosα•

3

2

+sina=-

4 3

5

即sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

…（2分）
∴sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

⇒sinα•

3

2

+cosα•

1

2

=-

4

5

⇒sin(a+

π

6

)=-

4

5

…（5分）
∵-

π

3

＜a+

π

6

＜

π

6

，…（6分）
∴cos(a+

π

6

)=

1-sin2(a+ π 6 )

=

3

5

…（7分）
∴cosa=cos[(a+

π

6

)-

π

6

]=cos(a+

π

6

)cos

π

6

+sin(a+

π

6

)sin

π

6

…（9分）
=

3

5

•

3

2

+(-

4

5

)•

1

2

=

3 3 -4

10

…（10分）
解法二：∵sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，
即sinα•

1

2

+cosα•

3

2

+sina=-

4 3

5

即sinα•

3

2

+cosα•

3

2

=-

4 3

5

⇒sinα•

3

+cosα=-

8

5

…（2分）

sinα• 3 +cosα=- 8 5 sin2a+cos2a=1

…（4分）
由sinα•

3

+cosα=-

8

5

得sina=

- 8 5 -cosa

3

代入得⇒(

- 8 5 -cosa

3

)2+cos2a=1…（6分）
即100cos²a+80cosa-11=0…（7分）
解得：cosa=

±3 3 -4

10

，…（9分）
∵cosa∈[-1，1]，
∴cosa=

3 3 -4

10

…（10分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是兩角和與差的正弦公式，給值求值，是三角函數(shù)求值問題的綜合應(yīng)用，難度中檔．