Question

18．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點A，B在拋物線上，且滿足∠AFB=$\frac{2π}{3}$，過弦AB的中點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線PM，垂足為M，則$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MP|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，
連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，
|BF|=|BP'|
在梯形ABP'Q中，
2|MP|=|AQ|+|BP'|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°
=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|PM|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．