在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)為BD1的中點(diǎn)，G在CD上，且CG=
CD4
，H為C1G的中點(diǎn)，求
（1）FH的長；
（2）直線FH與直線BD1的夾角θ的余弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出F，H的坐標(biāo)，從而可求向量FH的模，進(jìn)而可得FH的長．
（2）由（1）知
FH
=(-2，
3
2
，0)，
BD1
=(-4，-4，4)，從而可計(jì)算相應(yīng)的模與數(shù)量積，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可求所成角的余弦值．
解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則F（2，2，2），C（0，4，0），B1（4，4，4），C1（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H為C1G的中點(diǎn)
∴H(0，
7
2
，2)
∵F（2，2，2）
∴|
FH
|=
(0-2)2+(
7
2
-2)2+(2-2)2
=
5
2

∴FH=
5
2
；
（2）由（1）知
FH
=(-2，
3
2
，0)，
BD1
=(-4，-4，4)，
∴|
FH
|=
(-2)2+(
3
2
)2+02
=
5
2
，|
BD1
|=
(-4)2+(-4)2+42
=4
3
，
FH
•
BD1
=(-2)•(-4)+
3
2
•(-4)+0•4=2，
∴cos＜
FH
，
BD1
＞  =
2
5
2
×4
3
=
3
15

故直線FH與直線BD1的夾角θ的余弦值是
3
15
．
點(diǎn)評：本題以正方體為載體，主要考查線線角的求解．解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解立體幾何問題．
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（I）求三棱錐D1-ACE的體積；
（II）求異面直線D1E與AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D1E-C的正弦值．

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在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（　�。�

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（文）如圖，在棱長為4的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是AD、A′D′的中點(diǎn)，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A′B′C′D′?上運(yùn)動，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角A－A′D′－B′所圍成的幾何體的體積為(　　)

A.      B.        C.         D.

 

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（本題滿分12分）如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)。

 

（I）求三棱錐D1—ACE的體積；

（II）求異面直線D1E與AC所成角的余弦值；

（III）求二面角A—D1E—C的正弦值。

 

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