Question

10．我們知道f（x）=sinx是周期函數(shù)，且2π是它的最小正周期，它的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）與（π，0）對稱，且2（π-0）=2π．若定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，y₀），（b，y₀）（a≠b）對稱，則函數(shù)f（x）是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是請說明理由．

Answer 1

分析 由對稱性可得f（x）+f（2a-x）=2y₀且f（x）+f（2b-x）=2y₀，化簡可得f（2a-x）=（2b-x），用2a-x替換上式中的x可得f（x）=f（2b-2a+x），由周期函數(shù)的定義得f（x）是周期函數(shù)并求出一個(gè)周期．

解答 解：根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，y₀），（b，y₀）（a≠b）對稱，
則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
f（x）+f（2a-x）=2y₀且f（x）+f（2b-x）=2y₀，
∴f（2a-x）=（2b-x），
用2a-x來替換上式中的x可得f（x）=f（2b-2a+x），
∴f（x）是以2|a-b|為周期的函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的周期性問題，也考查了函數(shù)的對稱性問題，是基礎(chǔ)題目．