【題目】已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足a1=a,a2=b,且an2=an1an+1+λ(n≥2,n∈N),其中λ∈R.
(1)若λ=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是λ=(b﹣a)2;
(3)若數(shù)列{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且對(duì)任意的n∈N* , 滿足bn﹣an=1,求證:數(shù)列{(﹣1)nanbn}的前2n項(xiàng)和為常數(shù).

【答案】
(1)證明:若λ=0,則an2=an1an+1,n≥2,n∈N,

即有 = = =…= = =

則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公比為 的等比數(shù)列


(2)證明:①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,可得公差為b﹣a,首項(xiàng)為a,

即有an=a+(n﹣1)(b﹣a),

則λ=an2﹣an1an+1=[a+(n﹣1)(b﹣a)]2﹣[a+(n﹣2)(b﹣a)][a+n(b﹣a)]

=2a(n﹣1)(b﹣a)+(n﹣1)2(b﹣a)2﹣n(n﹣2)(b﹣a)2﹣(2n﹣2)a(b﹣a)=(b﹣a)2

②若λ=(b﹣a)2,即an2=an1an+1+(b﹣a)2,(n≥2,n∈N),

由a1=a,a2=b,可得a22=a1a3+(b﹣a)2,解得a3=2b﹣a,

同樣可得a4=3b﹣2a,…,猜想an=(n﹣1)b﹣(n﹣2)a=n(b﹣a)+2a﹣b,

證明:當(dāng)n=1時(shí),a1=b﹣a+2a﹣b=a,成立;

當(dāng)n=2時(shí),a2=2b﹣2a+2a﹣b=b,成立;

假設(shè)n≤k(k≥2,k∈N)有ak=k(b﹣a)+2a﹣b,

且ak2=ak1ak+1+(b﹣a)2,

可得ak+1= = = =(k+1)(b﹣a)+2a﹣b;

故當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=(k+1)(b﹣a)+2a﹣b,成立.

綜上可得,數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是λ=(b﹣a)2


(3)證明:對(duì)任意的n∈N*,滿足bn﹣an=1,可得b1=1+a,b2=1+b,

公比為 ,bn=(1+a)( n1,

an=bn﹣1=(1+a)( n1﹣1,

即有(bn﹣1)2=(bn1﹣1)(bn+1﹣1)+λ,

則(b2﹣1)2=(b1﹣1)(b3﹣1)+λ,

(b3﹣1)2=(b2﹣1)(b4﹣1)+λ,

可得b2﹣a( ﹣1)=( ﹣1)2﹣b( ﹣1),

化簡(jiǎn)整理可得a=b,

則(﹣1)nanbn=(﹣1)na(1+a),

則數(shù)列{(﹣1)nanbn}的前2n項(xiàng)和

﹣a(1+a)+a(1+a)﹣a(1+a)+a(1+a)﹣…+a(1+a)=0即為常數(shù)


【解析】(1)運(yùn)用等比數(shù)列的定義,即可得到 = ,進(jìn)而得到證明;(2)①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入即可得到λ=(b﹣a)2;②若λ=(b﹣a)2 , 歸納,猜想an=(n﹣1)b﹣(n﹣2)a=n(b﹣a)+2a﹣b,再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可;(3)求得bn=(1+a)( n1 , 再由恒成立思想,可得(b2﹣1)2﹣(b1﹣1)(b3﹣1)=(b3﹣1)2﹣(b2﹣1)(b4﹣1),化簡(jiǎn)整理可得a=b,進(jìn)而得到(﹣1)nanbn=(﹣1)na(1+a),即可得到所求和.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?

(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率.

(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.

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命題xR,x2+1≥0”的否定是x0R,+1<0”;

a≥0”x0R,a+x0+1≥0”的充分必要條件

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