Question

11．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖和三視圖如圖所示，E是棱CC₁上一點．
（1）若CE=2EC₁，求三棱錐E-ACB₁的體積．
（2）若E是CC₁的中點，求C到平面AEB₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由三視圖得該三棱柱是側棱長為2的直三棱柱，底面ABC是以AB為斜邊的等直角三角形，且AB=2，三棱錐E-ACB₁的體積${V}_{E-AC{D}_{1}}={V}_{A-CE{D}_{1}}$，由此能求出結果．
（2）設C到平面AEB₁的距離為d，由${V}_{C-AE{D}_{1}}$=${V}_{A-CE{D}_{1}}$，能求出C到平面AEB₁的距離．

解答 解：（1）由三視圖得該三棱柱是側棱長為2的直三棱柱，
底面ABC是以AB為斜邊的等直角三角形，且AB=2，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，BC⊥平面AA₁C₁C，
∵CE=2EC₁，CC₁=2，∴CE=$\frac{4}{3}$，
又AC=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐E-ACB₁的體積：
${V}_{E-AC{D}_{1}}={V}_{A-CE{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{9}$．
（2）∵E是CC₁的中點，CE=1，
∴AE=B₁E=$\sqrt{3}$，即△AEB₁是等腰三角形，
∵AB₁=2$\sqrt{2}$，∴△AEB₁的高為$\sqrt{3-2}$=1，
設C到平面AEB₁的距離為d，
∵${V}_{C-AE{D}_{1}}$=${V}_{A-CE{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$，
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴C到平面AEB₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查三視圖、三棱錐的體積、點到面面的距離、空間中線線、線面、面面的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．