8．在△ABC中，B=60°，AC=$\sqrt{3}$，求AB+2BC的取值范圍．

分析 △ABC中，B=60°，AC=$\sqrt{3}$，由正弦定理，得 $\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，所以AB=2sinC，BC=2sinA．由此能求出AB+2BC的最大值．

解答 解：∵B=60°，A+B+C=180°，∴A+C=120°，
由正弦定理，得 $\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，
∴AB=2sinC，BC=2sinA．
∴AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+4sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+4sinA
=$\sqrt{3}$cosA+5sinA
=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），（其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$ ）
所以AB+2BC的最大值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查AB+2BC的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理和三角函數(shù)恒等變換的合理運(yùn)用，屬于中檔題．

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