Question

14．長沙梅溪湖步步高購物中心在開業(yè)之后，為了解消費者購物金額的分布，在當月的電腦消費小票中隨機抽取n張進行統(tǒng)計，將結(jié)果分成6組，分別是：[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600]，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設消費金額均在[0，600]元的區(qū)間內(nèi)）．
（1）若在消費金額為[400，600]元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自[400，500）元區(qū)間的概率；
（2）為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設計了兩種不同的促銷方案．
方案一：全場商品打八折．
方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免．利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由（直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）．

Answer 1

分析 （1）由直方圖可知，按分層抽樣在[400，600]內(nèi)抽6張，則[400，500）內(nèi)抽4張，記為a，b，c，d，在[500，600]內(nèi)抽2張，記為E、F，設兩張小票均來自[400，500）為事件A，利用列舉法能求出這2張小票均來自[400，500）元區(qū)間的概率．
（2）法一：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05．分別求出方案一購物的平均費用和方案二購物的平均費用，從而得到方案一的優(yōu)惠力度更大．
（2）法二：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，分別求出方案一平均優(yōu)惠金額和方案二平均優(yōu)惠金額，由此能求出方案一的優(yōu)惠力度更大．

解答 解：（1）由直方圖可知，按分層抽樣在[400，600]內(nèi)抽6張，
則[400，500）內(nèi)抽4張，記為a，b，c，d，在[500，600]內(nèi)抽2張，記為E、F，
設兩張小票均來自[400，500）為事件A，
從中任選2張，有以下選法：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15種．
其中，兩張小票均來自[400，500）的有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6種，
∴$P（A）=\frac{2}{5}$．
（2）解法一：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05．
方案一購物的平均費用為：0.8×（50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05）=0.8×275=220（元）
方案二購物的平均費用為：50×0.1+130×0.2+230×0.25+270×0.3+370×0.1+430×0.05=228（元）．
∴方案一的優(yōu)惠力度更大．
（2）解法二：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
方案一平均優(yōu)惠金額為：0.2×（50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05）=0.2×275=55（元）．
方案二平均優(yōu)惠金額為：20×（0.2+0.25）+80×（0.3+0.1）+120×0.05=47（元）
∴方案一的優(yōu)惠力度更大．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．