Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D₁E⊥A₁D．
（2）分別求出

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=（-1，2，0），利用向量法能求出異面直線D₁E與AC所成角的余弦值．

解答： （1）證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），
A（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
∴

DA1

=(1，0，1)，

D1E

=(1，x，-1)，
∵

DA1

•

D1E

=1+0-1=0，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：∵E為AB的中點(diǎn)，∴E（1，1，0），
∴

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=（-1，2，0），
∴cos＜

D1E

，

AC

＞=

-1+2

3 • 5

=

15

15

．
∴異面直線D₁E與AC所成角的余弦值為

15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．