Question

14．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，△PAB是等邊三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=$\sqrt{6}$
（1）證明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連結OP，OC，AC，推導出OP⊥AB，OP⊥OC，從而OP⊥面ABC，由此能證明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）以O為原點，OB，OC，OP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 證明：（1）取AB中點O，連結OP，OC，AC，
∵△PAB是等邊三角形，∴OP=$\sqrt{3}$，且OP⊥AB，
由題意知△ABC為等邊三角形，且OC=$\sqrt{3}$，
在△POC中，∵OC²+OP²=CP²，∴OP⊥OC，
∴OP⊥面ABC，
∵OP?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
解：（2）以O為原點，OB，OC，OP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（-1，0，0），D（-2，$\sqrt{3}$，0），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PBC的法向量，
$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
設平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-2a+\sqrt{3}b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）＜
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由圖形得二面角B-PC-D的平面角為鈍角，
∴二面角B-PC-D的余弦值為-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．