Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四邊形OAQP的面積為S，，求f（θ）的最大值及此時θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由∠AOB=α可得α的終邊與單位圓交于點B（-，），根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求出α的正切值，進而利用弦化切技巧可求出的值．
（Ⅱ）由條件可得OAQP為平行四邊形，它的面積S=2S_△AOP=sinθ，化簡函數(shù)f（θ）的解析式為sin（2θ-）+1，由此根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（θ）的最大值及此時θ的值．
解答：解：（I）∵∠AOB=α，∴α的終邊與單位圓交于點B（-，），∴tanα===-．
∴===．
（Ⅱ）∵∠AOP=θ（0＜θ＜π），，故四邊形OAQP為平行四邊形，
∴四邊形OAQP的面積為S=2S_△AOP=2××1×1sinθ=sinθ．
∵A（1 0），P（cosθ，sinθ），
∴==+=1+cosθ．
∴=cosθ•sinθ+sin²θ=sin2θ+=sin（2θ-）+1，
∴當 sin（2θ-）=1，即 2θ-=時，即 θ=時，函數(shù)f（θ）取得最大值為．
點評：本題考查的知識點是任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的定義及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．