Question

設(shè)集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合B；
（2）若對(duì)于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）令2^x=t（t＞0），設(shè)f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上僅有一根或兩相等實(shí)根，
①f（t）=0有兩等根時(shí)，△=0?16-4 a=0?a=4．
驗(yàn)證：t²-4t+4=0?t=2∈（0，+∞）這時(shí)x=1．
②f（t）=0有一正根和一負(fù)根時(shí)，f（0）＜0?a＜0．
③若f（0）=0，則a=0，此時(shí)4^x-2•2^x=0?2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此時(shí)A中只有一個(gè)元素．
∴實(shí)數(shù)a的取值集合為B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式對(duì)任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只須

x-2≤0 g(4)＞0

?

x≤2 x2-10x+8＜0

?5-

17

＜x≤2．