Question

4．某魚類養(yǎng)殖戶在一個(gè)魚池中養(yǎng)殖一種魚，每季養(yǎng)殖成本為10000元，此魚的市場價(jià)格和魚池的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：

魚池產(chǎn)量（kg）	300	500
概　率	0.5	0.5

魚的市場價(jià)格（元/（kg）	60	100
概　率	0.4	0.6

（Ⅰ）設(shè)X表示在這個(gè)魚池養(yǎng)殖1季這種魚的利潤，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）若在這個(gè)魚池中連續(xù)3季養(yǎng)殖這種魚，求這3季中至少有2季的利潤不少于20000元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)X表示在這個(gè)魚池養(yǎng)殖1季這種魚的利潤，則X所有可能的取值為40000，20000，8000，進(jìn)而可得其分布列和期望；
（Ⅱ）設(shè)C_i表示事件“第i季利潤不少于20000元”（i=1，2，3），由題意知C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=40000）+P（X=20000），進(jìn)而可得答案．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)槔麧?產(chǎn)量×市場價(jià)格-成本，
所以X所有可能的取值為500×100-10000=40000，
500×60-10000=20000300×100-10000=20000，
300×60-10000=8000…（2分）
P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，
P（X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
P（X=8000）=0.5×0.4=0.2…（4分）
所以X的分布列為

X	40000	20000	8000
P	0.3	0.5	0.2

則E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600…（6分）
（Ⅱ）設(shè)C_i表示事件“第i季利潤不少于20000元”（i=1，2，3），
由題意知C₁，C₂，C₃相互獨(dú)立，由（Ⅰ）知，
P（C_i）=P（X=40000）+P（X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）…（8分）
3季的利潤均不少于20000元的概率為$P（{C_1}{C_2}{C_3}）=P（{C_1}）P（{C_2}）P（{C_3}）={0.8^3}=0.512$，
3季中有2季利潤不少于20000元的概率為$C_3^2×{（0.8）^2}×0.2=0.384$，
所以3季中至少有2季的利潤不少于 20000元的概率為0.512+0.384=0.896…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，離散型隨機(jī)變量及其分布列，難度不大，屬于中檔題．