Question

13、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a．
（1）求證：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；
（2）求證：A₁C⊥平面AD₁B₁．

Answer 1

分析：（1）欲證平面AD₁B₁∥平面C₁DB，根據(jù)面面平行的判定定理可知證一平面內(nèi)兩相交直線與另一平面平行即可，而D₁B₁∥平面C₁DB，AB₁∥平面C₁DB，滿足定理?xiàng)l件；
（2）欲證A₁C⊥平面AD₁B₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁C與平面AD₁B₁內(nèi)兩相交直線垂直，而A₁C₁⊥D₁B₁，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁，滿足定理?xiàng)l件．

解答：（1）證明：∵D₁B₁∥DB，∴D₁B₁∥平面C₁DB．
同理，AB₁∥平面C₁DB．
又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴平面AD₁B₁∥平面C₁DB．
（2）證明：∵A₁C₁⊥D₁B₁，而A₁C₁為A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，∴A₁C₁⊥D₁B₁．
同理，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁．
∴A₁C⊥平面AD₁B₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．