Question

（2013•靜安區(qū)一模）在復平面內，設點A、P所對應的復數分別為πi、cos（2t-

π

3

）+isin（2t-

π

3

）（i為虛數單位），則當t由

π

12

連續(xù)變到

π

4

時，向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是

π

6

．

Answer 1

分析：當t=

π

12

時，求得點P的坐標為P₁（

3

2

，-

1

2

），當t=

π

4

時，點P的坐標為P₂（

3

2

，

1

2

）．向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP₁P₂的面積與弓形的面積之和，故向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P₁OP₂的面積．再根據∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，求得扇形P₁OP₂的面積．

解答：解：由題意可得，點P在單位圓上，點A的坐標為（0，π）．
 t=

π

12

時，點P的坐標為P₁（

3

2

，-

1

2

）； 當t=

π

4

 時，點P的坐標為P₂（

3

2

，

1

2

），
向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP₁P₂的面積與弓形的面積之和，
而△AP₁P₂的面積等于△OP₁P₂的面積（因為這兩個三角形同底且等高），
故向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P₁OP₂的面積．
由于∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，∴扇形P₁OP₂的面積為
等于

1

2

×

π

3

×12=

π

6

，
故答案為

π

6

．

點評：本題主要考查復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，扇形的面積公式的應用，
屬于基礎題．