Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)斜率為2的直線與曲線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的平行線，問在坐標(biāo)平面中是否存在定點(diǎn)，使直線交直線于點(diǎn)，且恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）根據(jù)定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，且，所以方程為；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由知，設(shè)斜率為2的直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理以及斜率公式可得結(jié)果.

（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小2，

即是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，

由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，且，

所以，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，

設(shè)斜率為2的直線方程為，

設(shè)，

由知，

由，

整理得

所以

所以.

即，

整理得，

∴存在滿足題意.