Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)

AP

=λ

AD

+μ

AB

（λ，μ∈R），則λ+μ取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，可得直線BD的方程x+2y-2=0．算出點(diǎn)C到BD的距離d=

5

5

，得到以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓方程為（x-1）²+（y-1）²=

1

5

．設(shè)P（x，y），根據(jù)題中的向量等式算出P的坐標(biāo)為（2μ，λ），由P在圓內(nèi)或圓上得到（2μ-1）²+（λ-1）²≤

1

5

．將此不等式化成關(guān)于λ的一元二次不等式，利用根的判別式加以計算，可得λ+μ取值范圍．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
則A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）
直線BD的方程為

x

2

+

y

1

=1，化簡得x+2y-2=0，
∴點(diǎn)C到BD的距離d=

|1+2-2|

5

=

5

5

，
可得以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為
（x-1）²+（y-1）²=

1

5

．
設(shè)P（x，y），則

AP

=（x，y），

AD

=（0，1），

AB

=（2，0），
∵

AP

=λ

AD

+μ

AB

（λ，μ∈R），
∴（x，y）=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），
可得x=2μ且y=λ，P的坐標(biāo)為（2μ，λ）．
∵P在圓內(nèi)或圓上，
∴（2μ-1）²+（λ-1）²≤

1

5

，
設(shè)λ+μ=t，得μ=t-λ，
代入上式化簡整理得5λ²-（8t-2）λ+4t²-4t+

9

5

≤0，
若要上述不等式有實(shí)數(shù)解，
則△=（8t-2）²-4×5×（4t²-4t+

9

5

）≥0，
化簡得t²-3t+2≤0，
解得1≤t≤2，
即1≤λ+μ≤2，
∴λ+μ取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]

點(diǎn)評：本題在直角梯形中給出滿足條件的向量式，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識，屬于中檔題．同時考查了邏輯推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，是一道不錯的綜合題．