Question

【題目】已知點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)， 分別為該橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)取得最小值時(shí)橢圓為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（2）已知為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)， 是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2） .

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立，得，由此利用韋達(dá)定理、橢圓定義，結(jié)合已知條件能求出橢圓的方程；（2）設(shè)，且，由已知求出，由此能求出為定值.

試題解析：（1）聯(lián)立，得，

∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，

∴，解得，∴，

又由橢圓定義知，

故當(dāng)時(shí)， 取得最小值，

此時(shí)橢圓的方程為；離心率為 ；

（2）設(shè)，且，

∵，∴，

即，

∴，

同理，得，

∴，

又，

∴，

∴，

∴為定值1.