Question

（2013•杭州模擬）在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中點，P，Q是正方體內部及面上的兩個動點，則

AM

•

PQ

的最大值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  4

Answer 1

分析：以A為原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），可得

AM

•

PQ

=（x₂-x₁）+

y2-y1

2

．分析可得，當P在AA₁上，Q在CC₁上，

AM

•

PQ

有最大值，此時，x₂-x₁=1，y₂-y₁，由此求得

AM

•

PQ

的最大值．

解答：解：以A為原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由題意可得，M（1，

1

2

，0），設P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
則有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量

AM

=（1，

1

2

，0），向量

PQ

=（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得 

AM

•

PQ

=（x₂-x₁）+

y2-y1

2

．
當Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面時，x₂-x₁=1-0=1，為最大值，
當Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面時，y₂-y₁=1-0=1，為最大值，
故當P在AA₁上，Q在CC₁上，

AM

•

PQ

 有最大值，此時，

AM

•

PQ

=1+

1

2

=

3

2

，
故選C．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，建立空間坐標系，求得有關點及向量的坐標，是解題的關鍵，屬于中檔題．