Question

函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1（ k為正整數(shù)），其中a₁=16．設(shè)正整數(shù)數(shù)列{b_n}滿足：，當(dāng)n≥2時(shí)，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）記，證明：對任意n∈N*，．

Answer 1

解：（Ⅰ）在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線方程為：y﹣a_k²=2a_k（x﹣a_k），
當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以，
又∵a₁=16，
∴a₂=8，a₃=4，a₄=2

n=2時(shí)，，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36﹣2a₃|＜1，
因?yàn)閎₃為正整數(shù)，所以b₃=18，同理b₄=54
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2·3^n﹣1
證明：①n=1，2時(shí)，命題成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k﹣1與n=k（k≥2且k∈N）時(shí)成立，即b_k=2·3^k﹣1，b_k﹣1=2·3^k﹣2．
于是，整理得：
由歸納假設(shè)得：
因?yàn)閎_k+1為正整數(shù)，所以b_k+1=2·3^k
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題仍成立．
綜上：由知①②知對于n∈N*，有b_n=2·3^n﹣1成立
（Ⅲ）證明：由③
得④
③式減④式得⑤
⑥
⑤式減⑥式得

=﹣1+2
=1+2
=
=
則．