Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）證明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將BF平移到CE，則∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）欲證平面AMD⊥平面CDE，即證CE⊥平面AMD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證CE與平面AMD內(nèi)兩相交直線垂直即可，易證DM⊥CE，MP⊥CE；
（3）設(shè)Q為CD的中點，連接PQ，EQ，易證∠EQP為二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．
解答：（1）解：由題設(shè)知，BF∥CE，
所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角．
設(shè)P為AD的中點，連接EP，PC．
因為FE₌^∥AP，所以FA₌^∥EP，同理AB₌^∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD內(nèi)，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，
則EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°
（2）證明：因為DC=DE且M為CE的中點，
所以DM⊥CE．連接MP，則MP⊥CE．又MP∩DM=M，
故CE⊥平面AMD．而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE．
（3）解：設(shè)Q為CD的中點，連接PQ，EQ．
因為CE=DE，所以EQ⊥CD．因為PC=PD，
所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A-CD-E的平面角．
可得，．
點評：本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力．