Question

（08年潮州市二模理）（14分）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根．

⑴ 若函數(shù)的定義域?yàn)镮，對任意，存在，使等式=成立，

 求證：方程不存在異于的實(shí)數(shù)根；

⑵ 求證：當(dāng)時(shí)，總有成立；

⑶ 對任意，若滿足，求證．

Answer 1

解析：⑴．用反證法，

設(shè)方程有異于的實(shí)根，即，不妨設(shè)，則，在與之間必存在一點(diǎn)c，，

由題意使等式成立，    ……………………  2分

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090430/20090430164058009.gif' width=43>，所以必有，但這與矛盾．

因此，如若也是方程的根，則必有，即方程不存在異于的實(shí)數(shù)根．… 4分

  ⑵．令，   　…………………………………… 5分

， 　  ………………………………… 6分

為增函數(shù)．       ……………………………… 7分

又當(dāng)時(shí)，，即 　………………………………… 9分

⑶．不妨設(shè)，為增函數(shù)，即 ……………………  10分

又函數(shù)為減函數(shù)．   ……………………………  11分

即  ……………………  12分

即

∴．    ………………………   14分