Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x²+e^x（x＜0）與g（x）=2x²+ln（x+m）+2的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，e）
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （-$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=2x²+e^x（x＜0）與g（x）=2x²+ln（x+m）+2的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則函數(shù)f（x）=2x²+e^-x（x＞0）與g（x）=2x²+ln（x+m）+2的圖象有交點(diǎn)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=2x²+e^x（x＜0）與g（x）=2x²+ln（x+m）+2的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）=2x²+e^-x（x＞0）與g（x）=2x²+ln（x+m）+2的圖象有交點(diǎn)，
即2x²+e^-x=2x²+ln（x+m）+2有正根，
即e^-x=ln（x+m）+2有正根，
即e^-x-2=ln（x+m）有正根，
即函數(shù)y=e^-x-2和y=ln（x+m）的圖象在y軸右側(cè)有交點(diǎn)，
如下圖所示：
由lnm=-1得：m=$\frac{1}{e}$得：滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$），
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考察函數(shù)圖象的對稱變換，函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)及位置的判定，屬于中檔題．